考研数学无穷级数解题框架——敛散性判别 + 幂级数求和 + 傅里叶级数

无穷级数是数一特有的内容，也是每年必考的大题。本文梳理三个核心板块的解题框架。

第一部分：判别的敛散性

一、必要条件检查

先算。如果不为 0，立刻判定发散；如果为 0，继续往下判断。

二、研究的类型

根据的形式选择合适的判别法：

正项级数 → 比较判别法 / 比值判别法 / 根值判别法 / 积分判别法
交错级数 → 莱布尼茨判别法
任意项级数 → 先看绝对收敛，再考虑条件收敛

三、常用的反例

— 调和级数，发散
— 收敛，发散
— 发散
— 条件收敛

第二部分：求幂级数的和函数

一、先求收敛域

1. 具体问题 — 三步走

通项加绝对值
比值或根值取极限令 ，求出范围即为收敛区间
单独讨论端点，确定收敛域

2. 抽象问题

阿贝尔定理：若幂级数在收敛，则在内绝对收敛。

三种保持收敛半径不变的转化（收敛域需具体分析）：

乘除因式，或对做平移
逐项求导
逐项积分

二、和差凑配或先后导积

求和函数的核心思路：把不熟悉的形式转化成熟悉的，然后逆变换回来。

1. 母形级数（必须牢记）

无缺项：
缺项：
缺项加交错：

2. 子形级数

遇到含的幂级数，拆分为：

3. 其他常用级数

$Unknown environment 'aligned'$

三、用微分方程求和函数

根据系数数列的递推关系，对和函数求导，配出微分方程。

第三部分：函数展开成幂级数

一、见到

拆！拆成，一定是「1 + 常数 × x」的形式。

二、见到

换！用倍角公式转换成一次方。

三、见到

配！部分分式 + 配尾一型。

第四部分：傅里叶级数

一、周期为的傅里叶级数

二、狄利克雷收敛定理

若在上满足：

连续或只有有限个第一类间断点
至多只有有限个极值点

则傅里叶级数处处收敛，和函数为：

$Unknown environment 'cases'$

三、正弦级数和余弦级数

奇函数 → 正弦级数（只有）
偶函数 → 余弦级数（只有）

四、只在半周期有定义的函数

做奇延拓或偶延拓后展开。

本文持续更新，后续补充更多例题。