考研数学多元微积分公式速查——方向导数、梯度、散度、旋度等

数一中多元微积分的记忆性知识点集中在这篇，适合考前快速过一遍。

方向导数

$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}}\right|{P_0}
&= \lim{t\to 0^{+}} \frac{u(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z)-u(x_0, y_0, z_0)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}} \
&= u_x’\cos\alpha + u_y’\cos\beta + u_z’\cos\gamma
\end{aligned}
$$

梯度

梯度的方向 = 方向导数最大的方向；梯度的模 = 最大的方向导数。

散度

$Undefined control sequence \operatorname$

散度 > 0 → 「源」，散度 < 0 → 「汇」。

旋度

$Undefined control sequence \operatorname$

空间曲线的切向量

参数方程给出曲线：直接对参数求导
方程组形式给出曲线：用隐函数定理求切向量

空间曲面的法向量

化作形式后，某点处法向量为：

$$
\boldsymbol{n} = \left(F_x’\big|{P_0},\ F_y’\big|{P_0},\ F_z’\big|_{P_0}\right)
$$

二重积分换元

换元三步：

曲率

麦克劳林展开式

二元函数极值的充分条件

记，则：

	结论
且	极大值
且	极小值
	非极值（鞍点）
	方法失效，另谋他法

二阶常系数非齐次线性微分方程特解设法

当时

特解设为，其中：

$不是特征根是单特征根是二重特征根$

当时

特解设为，其中：

$不是特征根是特征根$

极值判别的充分条件

第二充分条件

，：极大值，极小值。

第三充分条件

设，：

为偶数， → 极大值
为偶数， → 极小值

极值只存在于驻点和不可导点！

拐点判别的充分条件

第二充分条件： → 拐点
第三充分条件：，为奇数时是拐点