考研数学反常积分判别法——P积分 + Q积分 = 万能比较基准

反常积分的核心就一句话：几乎所有问题都可以归结为用 P/Q 积分做比较判别法，别怕！

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可积的相关条件

1. 闭区间连续，有限个一类间断点 → 可积
2. 可积一定有界，有界不一定可积
3. 闭区间单调函数 → 可积

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比较判别法

设 为被积函数， 为已知敛散性的比较函数， ：

当比较函数为收敛时：

值	结论
	收敛
（有限非零）	收敛
	不可以判定

当比较函数为发散时：

值	结论
	不可以判定
（有限非零）	发散
	发散

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P 积分与 Q 积分——万能比较基准

P 积分（无穷区间）

• 时收敛
• 时发散

时： ，发散

Q 积分（瑕积分）

• 时收敛
• 时发散

时： ，发散

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解题步骤

1. 找到反常点（无穷区间 or 无界函数）
2. 找到被积函数的等价无穷小/无穷大
3. 套 P/Q 积分模板
4. 用比较判别法得出结论

核心：把复杂函数在反常点附近用等价无穷小/无穷大替换，与 或 形式对比。